高等数学复旦大学出版社习题答案十

导读:图10-7D亦可表示为:0?y?1,ye?x?e,所以?edxlnx1?f(x,y)dy??1dy?eeyf(x,y)dx(3)相应二重积分的积分区域D为:0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和,其中D1:0?x?1,0?y?x2,D2:1?x?3,0?y?12(3?x).13?2y,y)dx??1dx?x2所以?0

高等数学复旦大学出版社习题答案十

图10-7

D亦可表示为: 0?y?1,y

e?x? e

,所以?e

dxlnx

1?

f(x,y)dy?

?

1

dy?

e

e

y

f(x,y)dx

(3) 相应二重积分的积分区域D

为:0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示

.

图10-8

D亦可看成D1与D2的和,其中 D1:0?x?1,0?y?x2

, D2:1?x?3,

0?y?

12

(3?x).

1

3?2y,y)dx?

?1dx?

x2

所以?0

dyf(x0

f(x,y)dy?

?

3

1

1

dx?

2(3?x)

f(x,y)dy.

(4) 相应二重积分的积分区域D为:0?x?π,?sin

x2

?y?sinx.如图10-9所示

.

图10-9

D亦可看成由D1与D2两部分之和,其中 D1:?1?y?0,?2arcsiny?x?π; D2:0?y?1,arcsiny?x?π?arcsiny.

所以?π

dxsinx0?

?sin

xf(x,y)dy?

2

?

0?1

dy?

π

?2arcsiny

f(x,y)dx?

?

10

dy?

π?arcsinyarcsiny

f(x,y)dx

(5) 相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成,其中

210

D1:0?y?1,0?x?2y, D2:1?y?3,0?x?3?y.

如图10-10所示

.

图10-10

D亦可表示为:0?x?2,x2

?y?3?x;

所以?1

dy2yf

?x,y?dx??3

3?y23?x

0?

1

dy?

f(x,y)dx?

?

dx?x

f(x,y)dy

2

7.解:因为??f(x,y)d?为一常数,不妨设??f(x,y)?C

D

D

则有f(x,y)?xy?C 从而有f(x,y)?xy?

??

f(uv?C)dudv

D

而D??(x,y)0?x?1.0?y?x2

?

?f)?xy??1??0

?u

2

(x

,y

(0uv?C)dv??

du u

2

?xy??1?12

?0?2uv?cv?du

??0

?xy??1?1

5

0?

u?cu?2d

u?2

??

1

?xy??1613?

1?u?cu?1C ?123??xy?

?0

123 ?C?

18

故?f1(x,y)?xy?8

8. 计算下列二重积分: 2

(1)

??

x

D

y

2

xdy,D:1?x?2,

1x

?y?x;

211

x

(2) ??2

x=0与y=1所围;

D

ey

dxdy,D由抛物线y= x,直线(3) ??

,A(1,-1),B(1,1)为顶点的三角形;

D

xdy, D是以O(0,0)(4)

??

D

cos(x?y)dxdy,

D?{(x,y)|0?x?π,x?y?π}.

x

22

2

x

解:(1)??

D

2

dx?x

xy

dxdy?

?

1

1

y

2

y??

x

2

x?

2

3

x?dx

x

?

2

1

y

d1?1

?x

?x

2

??1412?

9?x??4

2x??.

?14(2) 积分区域D如图10-12所示

.

图10-12

D可表示为:0?y?1,

0?x?y2

.

x

1y2

x

2

x

所示??eyD

dxdy?

?0

dy?

ey

dx?

?

10

ydy?

yey

d(x0

y

)

y

2

x

?

?

1y(ey

?1)dy?

?

1yey

dy?

?

10

ye

y

dy?

?

10

ydy

11

?

?

1y

y

210

yde?

?

10

ydy?ye

y

?

?

10

edy?

2

y

?

2

.

(3) 积分区域D如图10-13所示

.

图10-13

D可表示为:0?x?1,

?x?y?x.

212

x

所以??

D

xdy?

?

1x0

dx?

?y?

?

1?x2y0

?

arcsin?dx

?2

x?x

1

?

?1π

x22dx?π13

2?3

x?

π

6

.(4)??cos(x?y)dxdy?

?π?π

π

π

D

0dxxcos(x?y)dy?

?

[sin(x?y)]xdx

??

π0

[sin(π?x)?sin2x]dx?

?

π0

(?sinx?sin2x)dx

π

????cosx?1?

12cos2x???.0

29. 计算下列二次积分:

(1)?1

dyx0y

x

x;

1y

y

(2)?21dy1xdx?

1dyxy

dx.

4

2

?

12

解:(1)因为?

sinxx

dx求不出来,故应改变积分次序。

积分区域D:0≤y≤1, y≤x

,如图10-14所示。

图10-14

D也可表示为:0≤x≤1,x2≤y≤x. 所以

?

1xdx??1sinxsinx0

dyy

x

0dx?

xx

2

x

dy?

?

10

x

(x?x2

)dx

??1(sinx?xsinx)dx?

?

100

sinxdx?

?

10

xsinxdx

?

?

10

sinxdx??xcosx?1

10?

?

cosxdx?1?sin1.

y

(2)因为?exdx求不出来,故应改变积分次序。积分区域D分为两部分,其中

D11:

4?y?

12,1

2

?x?D2:

12

?y?1,y?x?

如图10-15所示:

213

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