高等数学复旦大学出版社习题答案十

导读:11??Lxds??Lxds?x1?Lxds?2?0x????10x??dx11?18?2?32?3??(1?4x)2????x2?0??2??0?112?1?.(4)如图10-67所示,L=L1+L2+L3图10-67其中L1:y=0(0≤x≤a),从而?xLs?dx?ea?11?a0eL2:x=acost,y=asint,0≤t≤π4ππ故?Ls?t?2

高等数学复旦大学出版社习题答案十

11??

L

xds?

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x

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2

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1

1

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?

112

?1?.

(4)如图10-67所示,L=L1+L2+L

3

图10-67

其中L1:y=0(0≤x≤a),从而

?

xLs?

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?1

1

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a0

eL2:x=acost, y=asint,0≤t≤

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π

π

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Ls?

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2

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a

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4

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L3:y=x(0≤x

2

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Ls?

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3

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所以

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L

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Ls?1

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2

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Ls

3

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(5)ds?

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22

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(6) AB:?

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?

2

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?

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?

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?

30

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?

30

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(7)

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?

20

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2

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3

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2π5

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2

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3

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4

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sin

2

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3

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?

??16a

3

?

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?0

2?cos2??

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?

?

cost2?23cos3t1t?2563?2?5cos52???015a.

(8)

ds?

t

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?

22

L

(x?y)ds?

?2π0??a2(cost?tsint)2?a2(sint?tcost)2

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?

?

2π0

a3(1?t2)tdt?2π2a3(1?2π2

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(9)?

z

2

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x2

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2

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?

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t

?

?

π0

tdt?

2

3

π

at

30

?

3

aπ.

3

38. 计算曲面积分??f(x,y,z)ds,其中?为抛物面z = 2-(x2+y2)在xOy面上方的部分,

?

f(x, y, z)分别如下:

(1) f (x, y, z)=1; (2) f(x, y, z)=x+y; (3) f(x, y, z)=3z.

2222

解:抛物面z=2-(x+y)与xOy面的交线是xOy面上的圆x+y=2,因而曲面?在xOy面上的22

投影区域Dxy: x2+y2≤2,且ds

xdy?xdy

(1)

???

f(x,y,z)ds?

??

Dxdy?

xy

?

2π0

d??

dr

?2π?3

13?1?12(1?4r2)2

?

?π.?0

3(2)??f(x,y,z22?)ds?

??

D(x?yxdy

xy

??

2π0

d?0

rdr

2

?1)?(4r2

16

?0r?1)

3

1?

π16

r2

?1)2

?(1?4r2

?

)2

]d(4r2

?1)

?π?253

16??5(4r2?1)2?23(1?4r2)2??149π.?0

30(3)???f(x,y,z)ds?

???

3zds?

??

3??2?(x2?y2

D)?

xy

?xdy1

?3?

d?0?r2)(1?4r2

)2rdr

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11

32

?9?(1?4r2

)??(1?4r2

)2

d(1?4r2

)

35

?3π?16??9?23(1?4r2)2?25(1?4r2)2??111π.?0

1039. 计算??f(x2?y2

?

)ds,其中?是:

(1)锥面z

及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面;

(2)锥面z2=3(x2+y2)被平面z=0和z=3所截得的部分。 解:(1)???1??2,其中:

?1:z?1,(Dxy:x2?y2

?1).ds?dxdy,

?2:z?ds?

(Dxy:x?y?1)22

xdy?

xdy.

???

(x?y)ds?

1

22

??

Dxy

(x?y)dxdy?

22

?

2π0

d??

r?rdr?2π?

1

2

r

4

1

?

π2

,

4

???

因此

(x?y)ds?

2

22

??

Dxy

(x?yxdy?

22

2π0

d??rdr?

1

3

2

π.

???

(x?y)ds?

22

???

(x?y)ds?

1

22

???

(x?y)ds?

2

22

π2

?

2

π?

1?2

π.

(2)

所截得锥面为z?Dxy:x?y?

3)

22

ds?

xdy?2dxdy. 2?0

???(x

??

2

?y)ds?2??

2

Dxy

(x?y)dxdy?2?

22

d?dr?9π.

3

40. 计算下列对面积的曲面积分: (1)???z?2x?

?(2)??(3)??(4)??(5)??

xyz?

y?ds,其中?为平面???1在第I卦限中的部分;

2343?

4

2

?2xy?2x?x?z?ds,其中??

为平面2x+2y+z=6在第I卦限中的部分;

2

2

?x??

y?z?ds,其中?为球面x+y+z=a上z≥h(0<h<a)的部分;

22

?xy??

其中?

为锥面z?yz?zx?ds,

x+y=2ax所截得的有限部分;

22

222

?R?x?y?ds,其中?

?

为上半球面z?

解:(1)?:z?4?2x?

43

y(如图10-69所示

)

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