高等数学复旦大学出版社习题答案十

导读:11?Lxds=?Lxds+x1?Lxds=2?0x+?=?10x+?dx11=18?2?32?3??(1+4x)2???+x2?0??2??0=112(1).(4)如图10-67所示,L=L1+L2+L3图10-67其中L1:y=0(0≤x≤a),从而?xLs=dx=ea-11?a0eL2:x=acost,y=asint,0≤t≤π4ππ故?Ls=t=2?

高等数学复旦大学出版社习题答案十

11 ?

L

xds=

?Lxds+

x

1?

Lxds=

2

?0

x+?

=

?

10

x+

?

dx

1

1

=18?2?32?3??(1+4x)2???+x2?0??2?

?0

=

112

(1).

(4)如图10-67所示,L=L1+L2+L

3

图10-67

其中L1:y=0(0≤x≤a),从而

?

xLs=

dx=ea

-1

1

?

a0

eL2:x=acost, y=asint,0≤t≤

π4

π

π

?

Ls=

t=

2

?

40

e

a

?

4a

aedt=

πa

4

ae.

L3:y=x(0≤x

2

a).

?

Ls=

?

=ea

-1.

3

?x=

所以

?

L

s=

?

Ls+1

?

Ls+

2

?

Ls

3

π

π?

=(ea-1)+4aea+ea-1=ea?

?2+4a??

-2.

(5)ds=

t

=t

=

tdt.

?12Γ

x2

+y2

+z

2

s=?0

t

dt

=

?

22

-t?-t?0

2dt=-2

??-=2??0

2-e).?x=0

(6) AB:?

?y=0 (0≤t≤2),

??

z=0?x=tBC:?

?y=0 (0≤t≤1),

??z=2?x=1CD:?

?y=t (0≤t≤3).

??

z=2故

?2

Γ

xyzds=

?ABx2

yzds+

?

2

BC

xyzds+

?

CDx2

yzds

=?200dt+

?

10

0dt+

?

30

2t

=

?

30

2tdt=9.

(7)

?y2

π

2L

ds=

?

20

a(1-cost)

t

5=

?

2π3

2

t=8a

3

?

2π5

t0

(1-cost)d0

sin

2

dt

a

3

?

2πt2π2

=80

sin

4

t2

sin

2

dt=-16a

3

?

?0

?1-cos2t?2??d? t? ?cos2?

?

=-16a

3

?

2π? ?1-2cos2t4t?

?0

2+cos2??

d ?cost?2??

=-16a3

?

?

cost2-23cos3t1t?2563?2+5cos52??=015a.

(8)

ds=

t

=

t=atdt.

?

22

L

(x+y)ds=

?2π0??a2(cost+tsint)2+a2(sint-tcost)2

??atdt

=

?

2π0

a3(1+t2)tdt=2π2a3(1+2π2

).

(9)?

z

2

Γ

x2

+y

2

ds=

?

π0

t

=

?

π0

tdt=

2

3

π

at

30

=

3

aπ.

3

38. 计算曲面积分??f(x,y,z)ds,其中∑为抛物面z = 2-(x2+y2)在xOy面上方的部分,

f(x, y, z)分别如下:

(1) f (x, y, z)=1; (2) f(x, y, z)=x+y; (3) f(x, y, z)=3z.

2222

解:抛物面z=2-(x+y)与xOy面的交线是xOy面上的圆x+y=2,因而曲面∑在xOy面上的22

投影区域Dxy: x2+y2≤2,且ds

xdy=xdy

(1)

??∑

f(x,y,z)ds=

??

Dxdy=

xy

?

2π0

dθ?

dr

=2π?3

13?1?12(1+4r2)2

?

=π.?0

3(2)??f(x,y,z22∑)ds=

??

D(x+yxdy

xy

=?

2π0

dθ0

rdr

2

+1)-(4r2

16

?0r+1)

3

1=

π16

r2

+1)2

-(1+4r2

?

)2

]d(4r2

+1)

=π?253

16??5(4r2+1)2-23(1+4r2)2?=149π.?0

30(3)??∑f(x,y,z)ds=

??∑

3zds=

??

3??2-(x2+y2

D)?

xy

?xdy1

=3?

dθ0-r2)(1+4r2

)2rdr

=6π?

11

32

?9-(1+4r2

)??(1+4r2

)2

d(1+4r2

)

35

=3π?16??9?23(1+4r2)2-25(1+4r2)2?=111π.?0

1039. 计算??f(x2+y2

)ds,其中∑是:

(1)锥面z

及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面;

(2)锥面z2=3(x2+y2)被平面z=0和z=3所截得的部分。 解:(1)∑=∑1+∑2,其中:

∑1:z=1,(Dxy:x2+y2

≤1).ds=dxdy,

∑2:z=ds=

(Dxy:x+y≤1)22

xdy=

xdy.

??∑

(x+y)ds=

1

22

??

Dxy

(x+y)dxdy=

22

?

2π0

dθ?

r?rdr=2π?

1

2

r

4

1

=

π2

,

4

??∑

因此

(x+y)ds=

2

22

??

Dxy

(x+yxdy=

22

2π0

dθ?rdr=

1

3

2

π.

??∑

(x+y)ds=

22

??∑

(x+y)ds+

1

22

??∑

(x+y)ds=

2

22

π2

+

2

π=

1+2

π.

(2)

所截得锥面为z=Dxy:x+y≤

3)

22

ds=

xdy=2dxdy. 2π0

??∑(x

??

2

+y)ds=2??

2

Dxy

(x+y)dxdy=2?

22

dθdr=9π.

3

40. 计算下列对面积的曲面积分: (1)?? z+2x+

∑(2)??(3)??(4)??(5)??

xyz?

y?ds,其中∑为平面++=1在第I卦限中的部分;

2343?

4

2

(2xy-2x-x+z)ds,其中∑∑

为平面2x+2y+z=6在第I卦限中的部分;

2

2

(x+∑

y+z)ds,其中∑为球面x+y+z=a上z≥h(0<h<a)的部分;

22

(xy+∑

其中∑

为锥面z=yz+zx)ds,

x+y=2ax所截得的有限部分;

22

222

(R-x-y)ds,其中∑

为上半球面z=

解:(1)∑:z=4-2x-

43

y(如图10-69所示

)

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